Bilangan Kompleks

Definisi : Bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan real dengan bilangan
imajiner.

Bilangan imajiner : Bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan negatif.
Contoh : √-5 , √-7 , √-1000, .....................dst.
Kita definisikan, bahwa :
i = √-1
Oleh karena itu :
√-5 = √-1 X √5 = √5 i
√-7 = √-1 X √7 = √7 i
Operasi bilangan imajiner yang salah : √-5 X √-5 = √-5X-5 = √25 = 5
Seharusnya yang benar,adalah : √-5 X √-5 = √5i X √5i = 5i2 = 5.(-1) = -5

Simbol i memiliki sifat : i2 = ( √-1)2 = -1
i3= i2 x i = -1 x i = -i
i4 = i2 x i2 = -1 x -1 = 1
i5 = i3 x i2 = -i x -1 = i
sareng saterasna...................................

Notasi Bilangan Kompleks :
z = x + yi
menyatakan,bahwa :
x bagian real
i bagian imajiner murni
x dan y keduanya bilangan real

Operasi Bilangan kompleks :

1. Penjumlahan.
Contoh : ( 3 + 2 i ) + ( -2 + 7i ) = ................................
Jawaban :
( 3 + 2i ) + ( -2 + 7i ) = 3 + 2i – 2 + 7i = 1 + 9i.

2. Pengurangan.
Contoh : ( 2 - 3i ) - ( 8 - 2i ) = ......................................
Jawaban :
( 2 - 3i ) - ( 8 - 2 i ) = 2 – 3i - 8 + 2i = -6 - i

3. Perkalian .
Contoh : ( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = ..........................................
Jawaban :
( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = 6 – 15i + 8i - 20i2
Ubah i2 = -1 , maka :
( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = 6 – 15i + 8i + 20 = 26 - 7i.

4. Pembagian .
Contoh : 2 + 5i = ..............................................
3 + 4i

Jawaban :
2 + 5i = 2 + 5i X 3 - 4i
3 + 4i 3 + 4i 3 - 4i

= ( 2 + 5i )( 3 – 4i )
32 - ( 4i )2

= 6 – 8i + 15i - 20i2 = 6 – 8i + 15i + 20
9 + 16 25

= 26 + 7i = 26 + 7i
25 25 25

5. Pemangkatan.
Contoh : Jika z = 3 – i , tentukan : z3
Jawaban :
z3 = ( 3-i )( 3 – i )( 3 – i )
z3 = ( 9 – 6i – 1 )( 3 – i )
z3 = ( 8 – 6i )( 3 – i )
z3 = 24 – 8i – 18i – 6
z3 = 18 - 27i

2. BIDANG KOMPLEKS
Himpunan bilangan kompleks digambarkan pada bidang kompleks.
Bilangan kompleks digambarkan dengan sebuah titik pada bidang kompleks.
Contoh : Ada 4 bilangan kompleks yang disimbolkan Z1, Z2, Z3 dan Z4. Dimana :
Z1= 3+6i
Z2= -3+2i
Z3= -2-2i
Z4= 4-3i
Gambarkan : titik Z1, Z2, Z3 dan Z4 pada bilangan kompleks.
Jawaban :
Y
-6 Z1 (3+6i)

-5

-4

-3

Z2(-3+2i) -2

-1
X
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

*-1

Z3(-2-2i) *-2

*-3 Z4(4-3i)

*-4




Contoh : Z= (x+yi)
Jika Z= 5+ 7 - (√3 X √-2) + i2
i
Tentukan : x dan y
Gambarkan : Dalam bidang kompleks.
3.
Jawaban : Z= 5+7 – (√3 X √-2)+ i2
i
Z= 5+7 X i - (√3 X √-2 X i) – 1
i i
Z= 5+ 7i + √6i
i2
Z= 5- 7i + √6i
Z= 5+(√6-7) i
Maka : x=5 dan y =(√6-7)

Lokasi titik Z:
Y
-2

-1
X
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

*-1

*-2

*-3

*-4
Z (5+(√6-7) i)
*-5



Contoh : Z = (x+yi)
Tentukan nilai x dan y dari bilangan : a. 0
b.5
c.√-5

Jawaban :
a) 0 = 0+0i, jadi x=0 dan y=0
b) 5 = 5+0i, jadi x=5 dan y=0
c) √-5 = 0 + √5i, jadi x=0 dan y= √5

Contoh : Jika Z1=Z2=Z3
Z1=c+ai
Z2=b+2ci
Z3=a+2 – di
Tentukan a, b, c, d, dan Z1, Z2, dan Z3
4.
Jawaban : p+qi = r+Si jika dan hanya jika p=r dan q=s
Untuk itu : Z1 = Z2 = Z3
c+ai=b+2ci=a+2-dió
Maka : c=b=a+2...........................................(1)
A=2c=-d............................................(2)
Apabila kita ambil c=a+2 disubstitusikan ke a =2c
Menjadi : a=2c
a=2(a+2)
a=2a+4
a=-4
Karena a=- d maka d=4
Sedangkanc=a+2 maka c=-4+2= - 2 dan b=c= - 2.

Tos kitu kenging nilai a =-4, b = -2, c = -2, d = 4

Jadi : Z1 = Z2 = Z3 = c+ai = -2 - 4i

A. SKEMA BILANGAN.

1. Bilangan Asli : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bu-
lat positif.
A = { 1,2,3,4,5,6,...........}
2. Bilangan Prima : Bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan sa-
tu,kecuali angka1.
P = { 2,3,5,7,11,13,........}
3.Bilangan Cacah : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bu –
lat positif digabung dengan nol.
C = { 0,1,2,3,4,5,6,.........}
4. Bilangan Bulat : Bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat,ne
gatif,nol dan positif.
B = { ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
5. Bilangan Rasional : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan yang
dapat dinyatakan sebagai :
a/b dimana a,b anggota bil.bulat dan b ≠ 0 atau dapat di –
nyatakan sebagai suatu desimal berulang.
Contoh : 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain-lain.
6. Bilangan Irasional : Bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan se
bagai suatu desimal berulang.
Contoh : log 2, √7 , 2- √5 , e , dll.
7. Bilangan riil : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari
himpunan bilangan rasional dan irasional.
Contoh : log 10, 5/8 , -3 , 0, 3 dll.
8. Bilangan imajiner : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan ima
jiner ) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang ber
sifat i2 = -1
Contoh : i, 4i, 5i,
9. Bilangan kompleks : Bilangan yang anggota-anggotanya ( a + bi ) , dimana a,b
anggota bilangan riil ; i2 = -1, dengan a bagian riil dan b ba
gian imajiner.
Contoh : 2-3i, 8 + 2


B. BILANGAN KOMPLEKS.

Bilangan berbentuk : a + bi dimana a dan b adalah bilangan riil,dan i adalah bila
ngan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i2 = -1.
Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Sebagai contoh, 3+2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Himpunan bilangan kompleks,umumnya dinotasikan dengan C.
Bilangan real, R dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menya
takan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks : a = a + 0i.

Bilangan kompleks ditambah,dikurang dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat
Aljabar,seperti : komutatif, asosiatif dan distributif dan dengan persamaan :

i 2 = - 1

( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d )i
( a + bi ) - ( c + di ) = ( a – c ) + ( b – d )i
( a + bi )(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = ( ac – bd) + (bc + ad)i

Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan,himpunan bilangan kom –
pleks membentuk bidang matematika yang berbeda dengan bilangan real,berupa –
aljabar tertutup.

Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real ( a,b) dengan ope
rasi sebagai berikut :

( a,b) + (c,d) = ( a + c, b + d )
( a,b) . (c,d) = ( ac – bd , bc + ad )

Dengan definisi diatas,bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu him
punan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.
Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepa
sang bilangan riil ( a,b ), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi
satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.

Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks ( a,0 ) dan dengan cara
ini , himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.
Dalam C, berlaku sebagai berikut :

Identitas penjumlahan ( nol ) : ( 0,0 )
Identitas perkalian ( satu ) : ( 1,0 )
Invers penjumlahan ( a,b ) : ( -a, -b )
Invers perkalian bukan nol (a,b) : ( _ a____ , ___-b____ )
a2 + b2 a2 + b2




Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.
a + b i

Definisi 1 : Cara penulisan;
Bilangan kompleks terurut pasangan bilangan real x,y
Ditulis : z = ( x,y )
Contoh : z1 = (2,4)
z2 = ( 0,-2 )
z3 = ( -3, 4 ½ )

Definisi 2 : Bilangan kompleks yang sama;
z1 = ( x1 , y1 ) dan z2 = ( x2 , y2)
z1 = z2 atau ( x1, y1) = ( x2,y2) bila dan hanya bila :
x1=x2 dan y1 = y2

Contoh : Diketahui z1 = ( 3a+1 , 4 )
Z2= ( a + 9, 2b + 16 )
sedangkan z1 = z2
Tentukan nilai a dan b :
Jawaban : (3a +1, 4 ) = (a + 9, 2b + 16 )
Maka : 3a + 1 = a + 9
3a - a = 9 – 1
2a = 8
a = 4
maka juga : 4 = 2b + 16
-2b = 16 – 4
-2b = 12
B = - 6

Definisi 3 : Penjumlahan bilangan kompleks ;
z1 = ( x1 ,y1 ) dan z2 = ( x2, y2 )
z1 + z2 = (x1,y1) + (x2 + y2) = ( x1+x2 , y1+y2)

Contoh : Diketahui z1 = (2a +1, 4)
Z2 = (-2 a , -1 )
Tentukan : z1 + z2
Jawaban : z1 + z2 = (2a+1,4) +(-2a,-1)
Z1+z2 =( 2a+1-2a, 4-1 )
Z1+z2 = ( 1 , 3 )





Definisi 4 : Perkalian Bilangan kompleks;
Z1 = (x1, y1 ) dan z2 = ( x2,y2 )
Z1 X z2 = (x1,y1) X ( x2,y2) = (x1x2 – y1y2 , x1y2 + x2y1 )

Contoh : Diketahui : z1 = ( 5,2) dan z2= ( 6,3 )
Tentukan : z1 X z2
Jawaban : z1 X z2 = ( 5,2 ) X ( 6,3 )
Z1 X z2 = ( 5X6 – 2X3, 5X3 + 6X2)
Z1 X z2 = ( 30-6 , 15 + 12 )
Z1 X z2 = ( 24 , 27 )

TEOREMA 1 :
Penjumlahan Bilangan kompleks, memenuhi :
a. Hukum komutatif : z1+ z2 = z 2 + z1

Bukti : z1 + z2 = ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )
= ( x1 + x2 , y1 + y2 )

Z2 + z1 = ( x2,y2 ) + (x1 + y1)
= ( x2 + x1 , y2 + y1)

Karena x1 ,y1 ,x2 dan y2 adalah bilangan real maka berlaku ;
X1 + x2 = x2 + x1 dan y1 + y2 = y2 + y1
Oleh karenanya terbukti bahwa : z1+z2 = z2 + z1

b. Hukum asosiatif : ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )

Bukti : z1 = ( x1 , y1 ) ; z2 = ( x2 , y2 ) dan z3 = ( x3 , y3 )
Maka :
(z1 + z2 ) + z3 = (x1+x2 , y1 + y2) + ( x3 , y3 )
= ( ( x1 + x2 ) + x3 , (y1 + y2 ) + y3 )

Karena x1, y1 , x2 , y2 , x3 dan y3 adalah bilangan real,maka ber –
laku :
( x1 + x2 ) + x3 = x1 + ( x2 + x3 )
( y1 + y2) + y3 = y1 + ( y2 + y3 )
Oleh karenanya terbukti bahwa :

( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )







TEOREMA 2 :
Perkalian bilangan kompleks memenuhi :
a. Hukum komutatif : z1 X z2 = z2 X z1
b. Hukum asosiatif : ( z1 X z2 ) X z3 = z1 X ( z2 X z3 )
c. Hukum distributif : ( z1 + z2 ) X z3 = z1z3 + z2z3

TEOREMA 3 :
Pengurangan bilangan kompleks :

Z = z2 - z1 = ( x2 - x1 , y2 - y1 )


TEOREMA 4 :
Pembagian bilangan kompleks

z2 = ( xax2 + y1y2 , x1y2 – x2y1 )
z1 ( x12 + y12 x12 + y12 )

Contoh : Diketahui : z1 = (3, -1) dan z2 = ( -1 , 1 )
Tentukan : z2 : z1
J awaban : 3 (-1) + (-1) 1 , (3)(1) – (-1)(-1)
32 + (-1 )2 32 + (-1 )2

= - 4 , 2
10 10

= ( - 2/5 , 1/5 }
Definisi 5 :
Nilai mutlak bilangan kompleks : | z | = √ x2 + y2

TEOREMA 5 :
Perkalian nilai mutlak dua bilangan kompleks :

| z1 X z2 | = | z1 | X | z2 |
Definisi 6 :
Bilangan kompleks ( 0,1) kita definisikan sebagai bilangan i
Jadi : i = ( 0,1 )
TEOREMA 6 :
Dari : i = ( 0,1 ) diperoleh i2 = -1
TEOREMA 7 :
Jika x dan y bilangan real ,maka bilangan kompleks z = (x,y) dapat ditulis
Sebagai z = x + yi.

Sebagai catatan : x = bagian real
y = bagian khayal dari z
ditulis : x = R (z)
y = I (z )

Definisi 7 : kompleks sekawan.
z = x + yi kompleks sekawan dengan z = x - yi
ditulis : z = x – yi dibaca : sekawan z
TEOREMA 8 :
Untuk setiap bilangan kompleks : z1 = x1 + y1i dan z2 = x2 + y2i
Berlaku : 1. R (z) ≤ │ R(z) │ ≤ │ z │
2. I (z) ≤ │I(z) │ ≤ │ z │
3. z1 + z2 = z1 + z2
4. z1 X z2 = z1 X z2
5. │z│2 = z X z

BENTUK POLAR :
Z = √ a2 + b2 dan θ = arctan ( b/a) maka : a + bi = z ( cos θ + i sin θ )
Untuk mempersingkat penulisan,bentuk z(cosθ + i sin θ ) juga sering ditulis z cisθ
BENTUK EKSPONEN : zeiθ = z ( cos θ + i sin θ )